TangenteX.com

Introduction

Les trois lois de Newton fondent la mécanique classique et plus particulièrement la dynamique. Rappelons que la cinématique consiste à décrire les mouvements d’un point matériel ou d’un système de points matériels, alors que la dynamique s’intéresse aux causes de ces mouvements.
Au lycée, l’élève apprend ces lois et les circonstances dans lesquelles on les utilise pour résoudre un problème de mécanique.
Il semble cependant que cet enseignement ne soit pas bien perçu et les lois de Newton pas bien comprises. En passant sur quelques forums d’aide aux lycéens, j’ai pu constater que les élèves ne savaient pas distinguer les différences entre les trois lois ni les appliquer à bon escient. De ce constat sont nées ces quelques lignes.
Je citerai dans la suite les lois de Newton. Les textes originaux de ces lois, traduits en français, proviennent du « Principia – Principes mathématiques de la philosophie naturelle » d’Isaac Newton, traduit par la Marquise du Châtelet et préfacé par Voltaire, réédité par Dunod. J’en recommande la lecture à tous ceux que la physique intéresse.

Le point matériel

Avant d’aller plus loin, il me semble nécessaire de définir un « détail » : qu’est-ce qu’un point matériel ? Tous les cours parlent de « point matériel » sans trop décrire les hypothèses et les limites de ce concept. Un point matériel est un objet de dimension nulle, mais qui possède une masse. Pratiquement, cela n’existe pas !
Il ne faut pas confondre un point matériel avec un point mathématique, qui lui ne possède pas de masse.
Que signifie, en physique, que sa dimension est nulle ? Dans notre perception de la réalité, aucun objet matériel ne possède une dimension nulle. Alors que veut-on dire par là ? La question à poser devrait plutôt être : quelle approximation fait-on en parlant d’objet de dimension nulle !
En fait, lorsqu’on parle de « point matériel », on désigne un objet dans la taille est si petite que l’on peut négliger des « détails » comme son moment d’inertie et d’autres encore.
Mais attention, la notion de « point matériel » dépend du domaine du problème. En mécanique classique au lycée, une bonne approximation du point matériel est l’atome, du moins l’image qu’on s’en fait au lycée. Mais en physique des particules, l’atome n’a plus rien d’un point matériel !

La première loi : le principe d’inertie

Enoncé

Longtemps les physiciens précédant Newton se sont demandé ce qui provoquait le mouvement et si un mouvement pouvait exister sans force. Galilée et Descartes ont fait avancer la question en introduisant la notion d’inertie, c’est d’ailleurs Galilée qui a énoncé le principe d’inertie, que Newton a repris dans sa première loi.
Dans son énoncé original, Newton écrit « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d’état ».
En langage moderne, cela donne « Tout corps isolé qui n’est pas soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres objets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (MRU) qu’il possédait auparavant » ou toute autre formulation approchante.
L’énoncé moderne du principe d’inertie est « Dans un référentiel d’inertie, tout point matériel, ne subissant aucune interaction, a une vitesse constante, éventuellement nulle »
Vous remarquerez que la notion de masse n’intervient pas dans l’énoncé du principe d’inertie. Cet aspect, assez peu souligné, est important en relativité générale.
Le principe d’inertie est très important en mécanique, c’est même sans doute le plus important. Il est à l’origine de toutes les réflexions qui ont conduit à la relativité restreinte puis à la relativité générale.

Limitations

L’isolement du corps

Disons tout de suite que l’hypothèse de cette loi est purement théorique : il n’existe aucun corps dans l’univers que soit rigoureusement isolé ! Pour pouvoir l’appliquer, il faut faire des approximations (négliger l’influence des autres corps) voire même tricher carrément !
Par exemple, l’expérience classique d’illustration de ce principe au lycée se fait sur un banc à coussin d’air. On arrive ainsi à presque éliminer les frottements et surtout à compenser le poids du corps (un palet) en mouvement.
On essaye de se placer de cette manière dans une situation où le corps n’est soumis à aucune interaction, mais c’est tout à fait artificiel ! On parle dans ce cas là, de « solide pseudo-isolé ». J’ai même lu des livres de physique de lycée qui citent la Première Loi en parlant de « solides pseudo-isolé », sur lesquels « les forces appliquées se compensent ». Je considère que c’est une ineptie que de ne pas enseigner la Première Loi dans toute sa rigueur puis d’expliquer aux élèves la manière dont on approxime les situations pour l’appliquer, sachant qu’elle est inapplicable en toute rigueur.
Il faut penser à cette contrainte lorsqu’on veut utiliser la première loi. Inutile de penser Première Loi dans un système de points en interaction ! C’est une très grossière erreur, que pourtant certains lycéens n’hésitent pas à commettre sans état d’âme !

Le référentiel

Un autre aspect de cette loi qui est largement oublié au lycée, c’est qu’elle n’est pas applicable dans n’importe quel référentiel !
Je reviendrai plus loin sur l’importance de la notion de référentiel en mécanique. Mais le principe d’inertie, la Première Loi de Newton, repose entièrement sur une catégorie particulière de référentiels. On les appelle « référentiel d’inertie » ou « référentiel galiléen ». En fait, cette loi n’est vraie que dans ces référentiels, ce qui ne semble pas effleurer l’esprit de beaucoup, qui omettent systématiquement de le préciser.
C’est si important que l’on utilise généralement en mécanique un autre énoncé de la Première Loi, qui dit « Un référentiel d’inertie est un référentiel dans lequel un point matériel qui n’est soumis à aucune sorte d’interaction, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (MRU) qu’il possédait auparavant ».

Comment appliquer cette loi

En respectant ses limitations et en ne lui faisant pas dire ce qu’elle ne dit pas !
Pour employer le principe d’inertie, il faut que :

  • Le point matériel soit isolé, c'est-à-dire soumis à aucune interaction ! Inutile d’évoquer le principe d’inertie lorsqu’un point est soumis à une accélération quelconque ! Sauf pour démontrer que la Première Loi n’est pas applicable.
  • Que le référentiel d’étude soit un référentiel d’inertie (ou inertiel ou galiléen, cela signifie pratiquement la même chose !). Et là, il faut se méfier. En première approximation, on peut considérer un référentiel géocentrique comme inertiel, mais c’est toujours à vérifier !

Au lycée, on invoque la Première Loi, le principe d’inertie, essentiellement pour démontrer qu’un point (ou un objet) est en MRU (Mouvement Rectiligne Uniforme). Mais attention à en préciser les hypothèses :

  • L’objet est assimilable à un point matériel dans le domaine d’étude,
  • Le référentiel d’étude est inertiel (galiléen),
  • L’objet n’est soumis à aucune interaction.

Alors par pitié, n’allez pas invoquer la Première Loi en statique ou pour calculer le mouvement d’une masse qui chute ! Dans les deux cas, l’objet est soumis à une ou des interactions !!
En fac ou en prépa, on étudie et utilise longuement la Première Loi pour aborder la relativité.

La seconde loi : le principe fondamental de la dynamique

Enoncé

La Seconde Loi, le principe fondamental de la dynamique ou PFD, est sans doute la loi la plus connue des lycéens. On l’aborde dès la première puis en terminale (ce n'est plus vrai depuis le programme de 2012). Il est vrai que le PFD a des applications innombrables et très poussées.
Newton a énoncé le PFD ainsi dans les Principia: « Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne dans laquelle cette force a été imprimée ».
C’est assez obscur !
On l’énonce en langage moderne de la façon suivante : « Dans un référentiel d’inertie, la vitesse d’un point matériel varie proportionnellement à la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées et inversement proportionnellement à sa masse ».
Ou encore sous forme mathématique :

\(\displaystyle  \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\dfrac{d \overrightarrow{v}}{dt}\)

Si je note \( \overrightarrow{a} \) le vecteur accélération, qui comme chacun sait est la dérivée du vecteur vitesse, alors on trouve l’expression que tout le monde connait :

\( \displaystyle  \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\overrightarrow{a}\)

ce qui nous donne l'expression de l'accélération:

\( \overrightarrow{a} = \dfrac{\displaystyle  \sum\overrightarrow{F_{ext}}}{m} \)

A vrai dire, je n’aime pas trop cette expression du PFD. Je préfère utiliser une autre grandeur physique, introduite par Descartes en 1645, que l’on appelle la quantité de mouvement, notée \( \overrightarrow{p} \), et qui s’exprime par \( \overrightarrow{p} = m \overrightarrow{v} \). Ainsi donc, le PFD devient:

\( \displaystyle  \sum \overrightarrow{F_{ext}} = \dfrac{d \overrightarrow{p}}{dt}\)

Je préfère l’utilisation de la quantité de mouvement car c’est une grandeur qui est très utilisée en mécanique, classique et quantique. Avec cette expression, on ramène la définition d’une force à celle d’une variation de quantité de mouvement, ce qui est assez intuitif.
Précision qui peut avoir son importance : la masse dont il est question ici est la masse inertielle du point matériel, pas sa masse gravitationnelle ! La masse gravitationnelle est celle que vous utilisez quand vous écrivez \( \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g} \), \( \overrightarrow{P } \) étant le poids. Dans bien des calculs, on est amené à confondre masse inertielle et masse gravitationnelle (en égalant \( \overrightarrow{F } \) et \( \overrightarrow{P } \), par exemple). On utilise donc implicitement le principe d’équivalence de ces deux masses (dû à Galilée puis Einstein), qui n’a jamais été rigoureusement justifié (sinon, on aurait une théorie physique unifiée) mais qui est vérifié expérimentalement à 10-14 près, pour l’instant (10-15 bientôt)…

Limitations

Encore une fois, le référentiel doit être absolument précisé, et il est absolument nécessaire que ce soit un référentiel inertiel. Si le référentiel n'est pas inertiel, le PFD doit intégrer des forces supplémentaires, les forces d'inertie, dont je ne parlerai pas ici.

Comment appliquer cette loi

En règle générale, le PFD sert à déterminer le mouvement d’un point matériel ou d’un système de points, connaissant les forces qui s’appliquent à ce point.
Pour résoudre un problème de dynamique en utilisant le PFD, la méthode est toujours la même :

  • Choisir un référentiel, qui sera toujours inertiel (ou galiléen, c’est à peu près pareil). Il faut toujours préciser le référentiel d’étude, c’est fondamental ! S’il n’est pas inertiel, pas de PFD sous la forme indiquée ci-dessus et connue des lycéens !
  • Analyser la physique du problème, c'est-à-dire comprendre les phénomènes physiques en cause.
  • Faire le bilan de toutes les forces, quelque soit leur nature, qui agissent sur le point matériel étudié (ou le centre d’inertie de l’objet étudié).
  • Projeter chacune de ces forces sur les axes du référentiel. Se rappeler de la définition de la projection d’un vecteur sur un axe d’un référentiel (voir produit scalaire…)
  • Appliquer le PFD sous sa forme scalaire sur les projetés. Il est plus difficile d’appliquer le PFD sous sa forme vectorielle. Mais souvent, les élèves ne s’embarrassent pas telles considérations et cela les conduit à des énormités !
  • Calculer !!!

Le point le plus important, et qui est aussi le plus négligé, c’est la définition du référentiel !

La troisième loi : le principe des actions réciproques

Son énoncé original est « l’action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours égales, et dans des directions contraires ».
En langage moderne, on dira que « les actions réciproques, ou action et réaction, sont des forces colinéaires, d’intensité égale et de sens contraire ».
Cette loi est un cas particulier d’un théorème plus général de la mécanique, dit « loi de la conservation de la quantité de mouvement ».
On ne l’utilise plus beaucoup au lycée depuis que les problèmes de propulsion de fusée et de collision de boules de billard ont disparus.
Il y a toutefois un cas où l’on emploie la Troisième Loi, sans le dire vraiment ! C’est lorsqu’on étudie le mouvement d’un mobile sur un plan horizontal, à condition qu’il n’y ait pas de frottement. L’élève écrit tranquillement, souvent sans préciser que les frottements doivent être nuls – pas négligeables, nuls, que la réaction du support compense le poids du mobile. Il applique la troisième loi sans le dire… Dommage !

La notion de référentiel

Définition

J’ai beaucoup parlé de référentiel, mais qu’est-ce qu’un référentiel ?
En dynamique comme en cinématique, on parle de position, de vitesse et d’accélération. Ce sont des concepts géométriques qui nécessitent de :

  • Situer un point dans l’espace,
  • Mesurer des différences de temps.

Précisons d’abord qu’en mécanique classique, celle du lycée et de la prépa, nous nous situons dans l’espace géométrique euclidien classique de dimension 3 (au plus).
Vous savez tous que pour situer un point dans l’espace, on définit un repère, centré sur un point origine, doté de 3 axes (qu’on choisira orthogonaux en physique, parce qu’on est paresseux) sur lesquels on définit une base vectorielle notée classiquement \( (\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z}) \). Jusqu’ici, rien de nouveau par rapport au cours de maths ! Ajoutons que l’on choisit une base directe, son orientation étant importante à préciser dès que l’on utilise un produit vectoriel…
Un référentiel est l’ensemble formé d’un repère, généralement orthonormé direct et d’une horloge.
Pourquoi une horloge ? Parce qu’elle nous sert à mesurer les différences de temps. Pas d’horloge, pas de mesure de vitesse, ni d’accélération…
En mécanique newtonienne, on considère qu’il existe une horloge universelle, commune à tous les référentiels. C’est pratique parce qu’on peut définir ainsi la simultanéité des évènements dans différents repères. Mais on s’est aperçu, le « on » est Einstein, qu’il était indispensable d’attribuer à chaque référentiel sa propre horloge, qui définissait son temps propre. Ce qui implique qu’il faut oublier la simultanéité, mais c’est une autre histoire…
Quant au repère, en physique, il est définit comme un ensemble de points dont les distances sont invariables dans le temps et sur lequel on appuie les 3 axes du repère mathématique. Le trièdre des murs de la classe fera généralement très bien l’affaire.
Il faut maintenant définir la nature du référentiel et plus précisément son type. Et c’est ici que le problème devient compliqué !

Référentiel galiléen

On l’appelle aussi « référentiel d’inertie » ou « référentiel inertiel ». Je préfère la dénomination « référentiel d’inertie », mais l’enseignement français emploie la plupart du temps le terme « référentiel galiléen ». Les puristes introduisent une différence entre référentiel d’inertie et référentiel galiléen, mais je n’en parlerai pas ici.
On définit un référentiel galiléen comme un référentiel dans lequel un point matériel soumis à une force nulle présente un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante, éventuellement nulle). Un référentiel galiléen est donc défini par rapport à la Première Loi de Newton, ce qui est à retenir.
Pour s’assurer que le référentiel choisi est galiléen, celui du laboratoire par exemple, il faut s’assurer que dans ce référentiel, le point matériel n’est soumis à aucune force et donc aucune accélération. Il y a deux moyens de s’en assurer : la réflexion et l’expérience. Par exemple, un référentiel lié à la Terre, qui est en rotation sur elle-même et en révolution autour du Soleil, n’est pas galiléen en toute rigueur !
Nous verrons dans la suite dans quelles conditions on peut considérer qu’un référentiel est pratiquement galiléen.
Enfin, je voudrais introduire très rapidement une notion souvent oubliée au lycée, voire même en prépa : la classe des référentiels galiléens.
On démontre en cinématique que l’accélération d’un point est identique dans tous les référentiels qui sont en MRU les uns par rapport aux autres. Si donc je considère deux référentiels R et R’, en MRU l’un par rapport à l’autre, et que je considère que R est galiléen, alors R’ est galiléen, car le principe d’inertie est vérifié dans R’.
On définit ainsi la classe des référentiels galiléens. Si l’on connait un référentiel galiléen R, on peut construire un référentiel R’ galiléen : il faut et il suffit que R’ soit en MRU par rapport à R.

Référentiel héliocentrique

On l’appelle aussi « référentiel de Copernic ». Son origine est située au centre de masse du système solaire, qui est assimilé, avec une très bonne approximation, au centre de masse du Soleil. Les 3 axes du repère sont orthonormés et dirigés vers 3 étoiles ad hoc hors de notre galaxie, qui ne présentent pas de mouvement apparent par rapport à notre galaxie, étoiles que l’on dit « fixes » par abus de langage.
Ce référentiel est celui qui se rapproche le plus de la définition du référentiel galiléen, du moins pour tous les problèmes classiques concernant notre galaxie…

Référentiel géocentrique

Ce référentiel a son origine au centre de masse de la Terre. Ses 3 axes sont parallèles aux axes du référentiel héliocentrique.
Le référentiel géocentrique est en mouvement de translation elliptique (qu’on peut en première approche considérer comme une translation circulaire) par rapport au référentiel héliocentrique (les systèmes d’axes des deux référentiels sont parallèles par définition). Ce n’est donc pas en toute rigueur un référentiel galiléen. Il s’en approche toutefois sous certaines conditions que l’on verra dans un paragraphe suivant.
La Terre est en mouvement de rotation dans ce référentiel.

Référentiel terrestre

Ce référentiel est centré sur le centre de masse de la Terre. Ses 3 axes sont orthonormés et liés à la Terre.
Le référentiel terrestre est donc en rotation par rapport aux référentiels géocentrique ou héliocentrique. La principale conséquence est que le référentiel terrestre n’est pas galiléen, bien qu’on puisse l’approximer sous certaines conditions à un référentiel galiléen.
Autre conséquence de la définition, la Terre est immobile dans le référentiel terrestre.
Enfin, si l’on fait l’approximation galiléenne pour le référentiel terrestre, et seulement à cette condition, on peut considérer que n’importe quel référentiel centré sur un point quelconque de la surface terrestre est galiléen (voir la définition de la classe des référentiels galiléens plus haut). En effet, ce référentiel sera immobile par rapport au référentiel terrestre et donc en MRU, il appartient donc à la classe des référentiels galiléens. Mais j’insiste sur le fait que c’est une approximation et qu’il est hautement conseillé de la poser en toutes lettres et de l’expliciter comme indiqué ci-dessous dans vos devoirs (votre prof. de physique sera favorablement impressionné !).
En pratique, le référentiel galiléen dont vous entendrez le plus parler est le référentiel du laboratoire, défini par son système d’axes, formé par le trièdre des murs du labo, et l’horloge du labo. Il n’est pas vraiment galiléen, mais on fera avec dans la plupart des cas !

Quel référentiel choisir

Tout dépend du problème posé ! Voici quelques règles, qui n’empêchent pas la réflexion :

  • Vous avez un problème classique de plan incliné ou de bille qui tombe dans de l’huile. Les distances caractéristiques sont très faibles devant la dimension de l’orbite terrestre. Les durées sont faibles par rapport à la durée d’une rotation terrestre (1 jour). Vous choisissez le référentiel terrestre (du laboratoire) considéré comme galiléen. Les différentes forces d’inertie sont négligeables à cette échelle.
  • Votre problème est un problème de satellite terrestre ou de navette spatiale. Les distances caractéristiques sont faibles devant la dimension de l’orbite terrestre. Les durées sont faibles par rapport à la durée d’une révolution terrestre (1 an). Vous choisissez le référentiel géocentrique considéré comme galiléen. Les différentes forces d’inertie sont négligeables à cette échelle.
  • C’est un problème de planétologie. Vous devez travailler dans le référentiel héliocentrique, que vous considérerez galiléen. Mais attention, dans ce référentiel, les planètes sont en rotation et en révolution, ce qui rend l’écriture du PFD pour une planète relativement délicat.
  • Vous devez étudier un phénomène étendu par rapport aux dimensions terrestres (un cyclone) ou d’une durée du même ordre de grandeur que la journée (l’oscillation d’un pendule par exemple). Vous ne pourrez plus négliger les effets de la rotation terrestre. Vous pourrez donc choisir un référentiel terrestre ou géocentrique, mais il ne sera plus galiléen. Ce cas de figure ne se rencontre à priori pas au lycée, mais surtout en prépa.

D’une manière générale, pour choisir votre référentiel, posez-vous les questions suivantes :

  • Quelles sont les caractéristiques de mon problème : étendue spatiale et durée de l’expérience.
  • Le phénomène que je dois étudier dépend-il de la rotation ou de la révolution terrestre ?

Evitez les bourdes comme :

  • L’étude du pendule de Foucault dans un référentiel terrestre galiléen,
  • L’étude de la chute d’un objet dans un ascenseur en accélération dans un référentiel galiléen,
  • Utiliser un référentiel galiléen lié à un mobile accéléré, sauf si les effets de cette accélération peuvent être négligés, ce qu’il vaut mieux démontrer !
  • Utiliser un référentiel galiléen pour l’étude d’un système qui ne serait pas isolé. Je vous rappelle que le principe d’inertie qui définit le référentiel galiléen stipule que le point matériel ne doit être soumis à aucune interaction…

Résolution d’un problème de mécanique type

Pour illustrer tout ça, rien ne vaut un exemple de résolution d’un problème de mécanique. J’ai choisi un cas très simple, tiré du programme de terminale S, mais abordable dès la première. Il s’agit de l’étude du mouvement d’un mobile posé sur une table, fixé à un ressort, qui peut se mouvoir sans frottement.

1 - Définir le référentiel de notre étude

C’est une expérience de labo, je vais donc choisir le référentiel du laboratoire. Je vais utiliser un repère dont je fixerai l’origine au point O, histoire de pouvoir projeter tranquillement. Puis-je considérer ce référentiel comme galiléen ? Oui, car les effets de la rotation terrestre sont négligeables : expérience de faible durée et de dimension spatiale très modeste…
Donc me voilà doté d’un référentiel galiléen pour travailler.

2 – Analyser la physique du problème

Le mobile, de masse m, est assimilé à un point matériel. Du point de vue de notre étude, ce mobile est donc réduit à son centre d’inertie G.
Le mobile est fixé à un ressort. Au repos, c'est-à-dire quand le ressort n’est ni en élongation ni en compression, le point G a pour abscisse x0. On tire le mobile vers la droite pour amener le point G à l’abscisse x, dans notre référentiel, et on le maintien en cette position. Ce mouvement, provoqué par une force musculaire qui n’entre pas dans le problème, entraîne l’élongation du ressort. C’est la situation initiale du problème.
Un physicien anglais, Robert Hooke, énonça en 1678 la loi qui porte son nom, en version moderne « l’allongement est proportionnel à la force », autrement dit F = k*l, si l est l’allongement. K est une constante, dite « constante de raideur », que l’on détermine expérimentalement. Le signe du membre de droite dépend s’il s’agit d’une compression ou d’une élongation.
On cherche à savoir quel sera la nature du mouvement du mobile lorsqu’on va le lâcher, du moins du mouvement de son centre d’inertie. Le mieux est encore de faire l’expérience et d’observer. On note que le centre d’inertie G oscille autour du point d’équilibre x0. C’est un constat expérimental.
Le but du problème est de modéliser le phénomène pour trouver une ou plusieurs équations qui permettront de rendre compte de ce comportement.

3 – Faire le bilan des forces en présence

Essayons de les identifier :

  • Tout objet massif subit l’attraction terrestre, il possède donc un poids, noté \( \overrightarrow{P } \)
  • On observe que le mobile ne traverse pas la table et qu’il reste sagement à sa surface sans s’envoler. C’est donc qu’il existe une force de contact qui l’empêche de tomber et qui équilibre exactement le poids. C’est la réaction du support notée \( \overrightarrow{R } \). Notons à ce sujet que \( \overrightarrow{R } \) est normale à la surface de la table parce que les frottements sont nuls. Il convient de le préciser… Si les frottements n’étaient pas négligés, \( \overrightarrow{R } \) ne serait pas normal à la surface de la table.
  • La force de rappel \( \overrightarrow{F} \), dont on sait qu’elle est proportionnelle à l’élongation et colinéaire à l’axe du ressort.

Pas d’autres forces à l’horizon : on va négliger l’attraction de la Lune et du Soleil…

4 – Appliquer le PFD

Nous appliquons le PFD sous sa forme vectorielle selon la définition : la somme vectorielle des forces extérieures en présence est égale au produit de la masse du mobile par son accélération, soit :

\( \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F} + \overrightarrow{R} = m\overrightarrow{a}\)

Nous avons établi lors du bilan des forces que \( \overrightarrow{P} = -\overrightarrow{R} \)
D’autre part, la loi de Hooke nous permet d’écrire que \( \overrightarrow{F} = -k(x(t) - x_0) \overrightarrow{e_i} \), (x(t) – x0) représentant l’élongation du ressort.
Notre équation devient donc, en prenant en compte ces remarques \( \overrightarrow{F} = -k(x(t) - x_0) \overrightarrow{e_i} = m \overrightarrow{a} \), ce qui en simplifiant donne :

\( \overrightarrow{a} =- \dfrac{k}{m} (x(t) - x_0) \overrightarrow{e_i} \)

A partir de cette équation vectorielle, on peut faire deux remarques qui vont nous permettre de simplifier tout ça :

  • Nous avons dit que nous étions libres de choisir n’importe quel référentiel galiléen. Le choix que nous avons fait nous contraint à traiter la différence x(t) – x0, ce qui n’est pas pratique ! On va donc faire un petit changement de référentiel et centrer notre nouveau référentiel sur x0, ce qui nous évitera de le traîner dans les calculs.
  • L’accélération \( \overrightarrow{a} \) n’a pas de composante verticale, ce qui facilitera la projection, qui se limite à une projection sur l’axe Ox
  • On sait que \( \overrightarrow{a} = \dfrac{d^2 \overrightarrow{x}(t)}{dt^2} \)

D’où, en projetant sur Ox:

\( \dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\dfrac{k}{m}x(t) \)

Et nous voilà avec une splendide équation différentielle, qui décrit le mouvement du centre d’inertie du mobile dans le référentiel choisi. Nous avons modélisé le problème.

5 – Calculer

Trouver la solution de cette équation différentielle n’est pas du niveau de terminale. Mais on peut travailler en physicien pur ! Un physicien observe et devine. En observant, nous voyons que le point G suit un mouvement sinusoïdal si les frottements sont vraiment négligeables (sur un coussin d’air par exemple) et donc nous chercherons une solution de la forme :

\( x (t) = A\cos(\omega_0^2 t + \phi) \)

avec :

  • \( \omega_0 \) : la pulsation du mouvement, avec \( \omega_0 = \sqrt{ \dfrac{k}{m}} \)
  • A : l'amplitude initiale du mouvement,
  • \( \phi \) : la phase, que nous fixerons à 0 par convention dans cette expérience.

A titre d’exercice, vous pouvez vérifier que cette fonction est solution de l’équation différentielle. Notre équation différentielle étant d'ordre 2, nous devons déterminer 2 valeurs, qui forment les conditions initiales du mouvement :

  • La vitesse initiale du mobile : elle est nulle dans notre expérience (on maintient le mobile)
  • La position initiale : la position du mobile à t=0, par rapport à sa position au repos x0, x0 = 0 dans notre référentiel. Il s'agit de la valeur de A.

Maintenant, vous pouvez calculer la période du mouvement, et même envisager la solution du problème si nous n’avions pas négligé les frottements.

En option : résoudre numériquement l'équation différentielle

Sur TangenteX, l'objectif est d'étudier les méthodes et outils pour résoudre numériquement un problème de physique. Il s'agit ici de résoudre une équation différentielle d'ordre 2 : \( \dfrac{d^2 x}{dt^2} = -\omega_0^2 x(t) \). La méthode en Python est exposée sur cette page de TangenteX. A titre d'exemple, voici un script qui résout le problème :

# importation des librairies
from scipy.integrate import odeint
from scipy import array, arange,pi
from pylab import figure,title,xlabel,ylabel, grid, plot

# paramètres physiques de l'expérience
w0 = 1.0         # pulsation propre
A = 4.0          # amplitude initiale
T = 2.0*pi/w0    # période du mouvement
   
# Définition de l'EDO de deuxième ordre
def EDO(X,t):
    dx = X[1]
    dv = -(w0**2)*X[0]
    return array([dx, dv])

# saisie des conditions initiales de l'expérience
x0 = A
v0 = 0.0
C0 = array([x0, v0])                

# définition du vecteur temps de l'expérience
t0 = 0.
tmax = 3*T            # tracé de la courbe sur 3 périodes
pastemps = 0.01
t = arange(t0, tmax, pastemps)

# intégration du système
Y = odeint(EDO,C0,t)

# affichage de la courbe des résultats
figure()
title(u"Mouvement d'une masse attachée à un ressort")
xlabel('Temps')
ylabel('Position')
grid()
plot(t, Y[:,0]) # tracé de la courbe x = f(t)

J'ai fixé l'amplitude initiale du mouvement A = 4 (l'unité importe peu, il peut s'agir de centimètres par exemple) et la pulsation propre à 1. La période du mouvement est donc égale à 2\(\pi \). Pour rappel \( T = \dfrac{2\pi}{\omega_0} \).

Notre équation étant du deuxième ordre, je l'ai décomposée en un système de deux équations de premier ordre que l'on voit apparaître dans la fonction EDO. Puis je résous classiquement le système en utilisant la fontion odeint() de Scipy.

Les conditions initiales sont celles de notre problème : la position initiale de la masse est à x= A et sa vitesse initiale est nulle. Ces deux conditions sont stockées dans le vecteur C0.

A l'exécution du script, nous obtenons la trajectoire :

Mouvement sinusoîdal

Il s'agit bien d'une sinusoïde, dont l'ordonnée à l'origine est 4.0 et dont la période est de 2\(\pi \), c'est à dire que la trajectoire obtenue est bien une fonction de la forme \( x (t) = A\cos(\omega_0^2 t) \).

Contenu et design par Dominique Lefebvre - www.tangenteX.com mars 2013   Licence Creative Commons   Contact :