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Dominique Lefebvre avril 2009
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Dominique Lefebvre avril 2009
Les trois lois de Newton
Principes et applications
Les trois lois de Newton fondent la mécanique classique et plus particulièrement
la dynamique. Rappelons que la cinématique consiste à décrire les mouvements
d’un point matériel ou d’un système de points matériels, alors que la dynamique
s’intéresse aux causes de ces mouvements.
Les lois de Newton sont évoquées assez tôt dans l’enseignement de la physique en
France, dès la seconde. Au lycée, l’élève apprend ces lois et les circonstances
dans lesquelles on les utilise pour résoudre un problème de mécanique.
Il semble cependant que cet enseignement ne soit pas bien perçu et les lois de
Newton bien comprises. Je fréquente quelques forums d’aide aux lycées
(maths-forum ou
Pour parler de physique) et j’ai pu constater que les élèves ne
savaient pas distinguer les différences entre les trois lois ni les appliquer à
bon escient. De ce constat sont nées ces quelques lignes.
Je citerai dans la suite les lois de Newton. Les textes originaux de ces lois,
traduits en français, proviennent du « Principia –
Principes mathématiques de la philosophie naturelle » d’Isaac Newton, traduit
par la Marquise du Châtelet et préfacé par Voltaire, récemment réédité par
Dunod. J’en recommande la lecture à tous ceux que la
physique intéresse.
Dans la suite, j’utilise la convention typographique classique chez les
physiciens : les vecteurs sont en gras.
Avant d’aller plus loin, il me semble nécessaire de définir un « détail » :
qu’est-ce qu’un point matériel ? Tous les cours parlent de « point matériel »
sans trop décrire les hypothèses et les limites de ce concept. Un point matériel
est un objet de dimension nulle, mais qui possède une masse. Pratiquement, cela
n’existe pas bien sur !
Il ne faut pas confondre un point matériel avec un point mathématique, qui lui
ne possède pas de masse.
Que signifie, en physique, que sa dimension est nulle ? Dans notre perception de
la réalité, aucun objet matériel ne possède une dimension nulle. Alors que
veut-on dire par là ? La question à poser devrait plutôt être : quelle
approximation fait-on en parlant d’objet de dimension nulle !
En fait, lorsqu’on parle de « point matériel », on désigne un objet dans la
taille est si petite que l’on peut négliger des « détails » comme son moment
d’inertie et d’autres encore.
Mais attention, la notion de « point matériel » dépend du domaine du problème.
En mécanique classique au lycée, une bonne approximation du point matériel est
l’atome, du moins l’image qu’on s’en fait au lycée. Mais en physique des
particules, l’atome n’a plus rien d’un point matériel !
Longtemps les physiciens précédant Newton se sont demandé ce qui provoquait le
mouvement et si un mouvement pouvait exister sans force. Galilée et Descartes
ont fait avancer la question en introduisant la notion d’inertie, c’est
d’ailleurs Galilée qui a énoncé le principe d’inertie, que Newton a repris dans
sa première loi.
Dans son énoncé original, Newton écrit « Tout
corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite
dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le
contraigne à changer d’état ».
En langage moderne, cela donne « Tout
corps isolé qui n’est pas soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres
objets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme
(MRU) qu’il possédait auparavant » ou toute autre formulation approchante.
L’énoncé moderne du principe d’inertie est « Dans un référentiel d’inertie, tout
point matériel, ne subissant aucune interaction, a une vitesse constante,
éventuellement nulle »
Vous remarquerez que la notion de masse n’intervient pas dans l’énoncé du
principe d’inertie. Cet aspect, assez peu souligné, est important en relativité
générale.
Le principe d’inertie est très important en physique, c’est même sans doute le
plus important. Il est à l’origine de toutes les réflexions qui ont conduit à la
relativité restreinte puis à la relativité générale.
Disons tout de suite que l’hypothèse de cette loi est purement théorique : il
n’existe aucun corps dans l’univers que soit rigoureusement isolé ! Pour pouvoir
l’appliquer, il faut faire des approximations (négliger l’influence des autres
corps) voire même tricher carrément !
Par exemple, l’expérience classique d’illustration de ce principe au lycée se
fait sur un banc à coussin d’air. On arrive ainsi à presque éliminer les
frottements et surtout à compenser le poids du corps (un palet) en mouvement.
On essaye de se placer de cette manière dans une situation où le corps n’est
soumis à aucune interaction, mais c’est tout à fait artificiel ! On parle dans
ce cas là, de « solide pseudo-isolé ». J’ai même lu des livres de physique de
lycée qui citent la Première Loi en parlant de « solides pseudo-isolé », sur
lesquels « les forces appliquées se compensent ». Je considère que c’est une
ineptie que de ne pas enseigner la Première Loi dans toute sa rigueur puis
d’expliquer aux élèves la manière dont on approxime les situations pour
l’appliquer, sachant qu’elle est inapplicable en toute rigueur.
Il faut penser à cette contrainte lorsqu’on veut utiliser la première loi.
Inutile de penser Première Loi dans un système de points en interaction ! C’est
une très grossière erreur, que pourtant certains lycéens n’hésitent pas à
commettre sans état d’âme !
Un autre aspect de cette loi qui est largement oublié au lycée, c’est qu’elle
n’est pas applicable dans n’importe quel référentiel !
Je reviendrai plus loin sur l’importance de la notion de référentiel en
mécanique. Mais le principe d’inertie, la Première Loi de Newton, repose
entièrement sur une catégorie particulière de référentiels. On les appelle
« référentiel d’inertie » ou « référentiel galiléen ». En fait, cette loi n’est
vraie que dans ces référentiels, ce qui ne semble pas effleurer l’esprit de
beaucoup, qui omettent systématiquement de le préciser.
C’est si important que l’on utilise généralement en mécanique un autre énoncé de
la Première Loi, qui dit « Un référentiel d’inertie est un référentiel dans
lequel un point matériel qui n’est soumis à aucune sorte d’interaction, conserve
l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (MRU) qu’il possédait
auparavant ».
En respectant ses limitations et en ne lui faisant pas dire ce qu’elle ne dit
pas !
Pour employer le principe d’inertie, il faut que :
Au lycée, on invoque la Première Loi, le principe d’inertie, essentiellement
pour démontrer qu’un point (ou un objet) est en MRU (Mouvement Rectiligne
Uniforme). Mais attention à en préciser les hypothèses :
Alors par pitié, n’allez pas invoquer la Première Loi en statique ou pour
calculer le mouvement d’une masse qui chute ! Dans les deux cas, l’objet est
soumis à une ou des interactions !!
En fac ou en prépa, on étudie et utilise longuement la Première Loi pour aborder
la relativité.
La Seconde Loi, le principe fondamental de la dynamique ou PFD (je le noterai
par habitude PFD, c’est plus simple et je suis paresseux !), est sans doute la
loi la plus connue des lycéens. On l’aborde dès la première puis en
terminale (en France du moins). Il est vrai que le PFD a des applications
innombrables et très poussées.
Newton a énoncé le PFD ainsi dans les Principia : « Les changements qui arrivent dans le
mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne dans
laquelle cette force a été imprimée ».
C’est assez obscur !
On l’énonce en langage moderne de la façon suivante : « Dans un référentiel d’inertie, la
vitesse d’un point matériel varie proportionnellement à la somme des forces
extérieures qui lui sont appliquées et inversement proportionnellement à sa
masse ».
Ou encore sous forme mathématique : dv/dt
=
SFext/m.
Si je note a le vecteur
accélération, qui comme chacun sait est la dérivée du vecteur vitesse, alors on
trouve l’expression que tout le monde connait :
a =
SFext/m.
A vrai dire, je n’aime pas trop cette expression du PFD. Je préfère utiliser une
autre grandeur physique, introduite par Descartes en 1645, que l’on appelle la
quantité de mouvement, notée p, et
qui s’exprime par p =
mv.
Ainsi donc, le PFD devient
S
Fext
= dp/dt. Je préfère l’utilisation de la quantité de
mouvement car c’est une grandeur qui est très utilisée en mécanique, classique
et quantique, et je trouve dommage qu’elle ne soit pas introduite au lycée,
ou alors en catimini…
Avec cette expression, on ramène la définition d’une force à celle d’une
variation de quantité de mouvement, ce qui est assez intuitif.
Précision qui peut avoir son importance : la masse dont il est question ici est
la masse inertielle du point matériel, pas sa masse gravitationnelle ! La masse
gravitationnelle est celle que vous utilisez quand vous écrivez
P = m*g,
P étant le poids. Dans bien des
calculs, on est amené à confondre masse inertielle et masse gravitationnelle (en
égalant F et
P, par exemple). On utilise donc
implicitement le principe d’équivalence de ces deux masses (du à Einstein), qui
n’a jamais été rigoureusement justifié (sinon, on aurait une théorie physique
unifiée) mais qui est vérifié expérimentalement à 10^-12 près, pour l’instant
(10^-15 bientôt)…
Encore une fois, le référentiel doit être absolument précisé, et il est
absolument nécessaire que ce soit un référentiel inertiel (si le référentiel
n'est pas inertiel, le PFD doit intégrer des forces supplémentaires, les forces
d'inertie, dont je ne parlerai pas ici).
En règle générale, le PFD sert à déterminer le mouvement d’un point matériel ou
d’un système de points, connaissant les forces qui s’appliquent à ce point.
Pour résoudre un problème de dynamique en utilisant le PFD, la méthode est
toujours la même :
Le point le plus important, et qui est aussi le plus négligé, c’est la
définition du référentiel !
Son énoncé original est « l’action est toujours égale à la réaction ;
c'est-à-dire que les actions de deux corps l’un sur l’autre sont toujours
égales, et dans des directions contraires ».
En langage moderne, on dira que « les
actions réciproques, ou action et réaction, sont des forces colinéaires,
d’intensité égale et de sens contraire ».
Cette loi est un cas particulier d’un théorème plus général de la mécanique, dit
« loi de la conservation de la quantité de mouvement ».
On ne l’utilise plus beaucoup au lycée depuis que les problèmes de propulsion de
fusée et de collision de boules de billard ont disparus.
Il y a toutefois un cas où l’on emploie la Troisième Loi, sans le dire
vraiment ! C’est lorsqu’on étudie le mouvement d’un mobile sur un plan
horizontal, à condition qu’il n’y ait pas de frottement. L’élève écrit
tranquillement, souvent sans préciser que les frottements doivent être nuls –
pas négligeables, nuls, que la réaction du support compense le poids du mobile.
Il applique la troisième loi sans le dire… Dommage !
J’ai beaucoup parlé de référentiel, mais qu’est-ce qu’un référentiel ?
En dynamique comme en cinématique, on parle de position, de vitesse et
d’accélération. Ce sont des concepts géométriques qui nécessitent de :
Précisons d’abord qu’en mécanique classique, celle du lycée et de la prépa, nous
nous situons dans l’espace géométrique euclidien classique de dimension 3 (au
plus!).
Vous savez tous que pour situer un point dans l’espace, on définit un repère,
centré sur un point origine, doté de 3 axes (qu’on choisira orthogonaux en
physique, parce qu’on est paresseux) sur lesquels on définit une base
vectorielle notée classiquement (ex,
ey,
ez).
Jusqu’ici, rien de nouveau par rapport au cours de maths ! Ajoutons que l’on
choisit une base directe, son orientation étant importante à préciser dès que
l’on utilise un produit vectoriel…
Un référentiel est l’ensemble formé d’un repère, généralement orthonormé direct
et d’une horloge.
Pourquoi une horloge ? Parce qu’elle nous sert à mesurer les différences de
temps. Pas d’horloge, pas de mesure de vitesse, ni d’accélération…
En mécanique newtonienne, on considère qu’il existe une horloge universelle,
commune à tous les référentiels. C’est pratique parce qu’on peut définir ainsi
la simultanéité des évènements dans différents repères. Mais on s’est aperçu, le
« on » est Einstein, qu’il était indispensable d’attribuer à chaque référentiel sa
propre horloge, qui définissait son temps propre. Ce qui implique qu’il faut
oublier la simultanéité, mais c’est une autre histoire…
Quant au repère, en physique, il est définit comme un ensemble de points dont
les distances sont invariables dans le temps et sur lequel on appuie les 3 axes
du repère mathématique. Le trièdre des murs de la classe fera généralement très
bien l’affaire.
Il faut maintenant définir la nature du référentiel et plus précisément son
type. Et c’est ici que le problème devient compliqué !
On l’appelle aussi « référentiel d’inertie » ou « référentiel inertiel ». Je
préfère la dénomination « référentiel d’inertie », mais l’enseignement français
emploie la plupart du temps le terme « référentiel galiléen ». Les puristes
introduisent une différence entre référentiel d’inertie et référentiel galiléen,
mais je n’en parlerai pas ici.
On définit un référentiel galiléen comme un référentiel dans lequel un point
matériel soumis à une force nulle présente un mouvement rectiligne uniforme
(vitesse constante, éventuellement nulle). Un référentiel galiléen est donc
défini par rapport à la Première Loi de Newton, ce qui est à retenir.
Pour s’assurer que le référentiel choisi est galiléen, celui du laboratoire par
exemple, il faut s’assurer que dans ce référentiel, le point matériel n’est
soumis à aucune force et donc aucune accélération. Il y a deux moyens de s’en
assurer : la réflexion et l’expérience. Par exemple, un référentiel lié à la
Terre, qui est en rotation sur elle-même et en révolution autour du Soleil,
n’est pas galiléen en toute rigueur !
Nous verrons dans la suite dans quelles conditions on peut considérer qu’un
référentiel est pratiquement galiléen.
Enfin, je voudrais introduire très rapidement une notion souvent oubliée au
lycée, voire même en prépa : la classe des référentiels galiléens.
On démontre en cinématique que l’accélération d’un point est identique dans tous
les référentiels qui sont en MRU les uns par rapport aux autres. Si donc je
considère deux référentiels R et R’, en MRU l’un par rapport à l’autre, et que
je considère que R est galiléen, alors R’ est galiléen, car le principe
d’inertie est vérifié dans R’.
On définit ainsi la classe des référentiels galiléens. Si l’on connait un
référentiel galiléen R, on peut construire un référentiel R’ galiléen : il faut
et il suffit que R’ soit en MRU par rapport à R.
On l’appelle aussi « référentiel de Copernic ». Son origine est située au centre
de masse du système solaire, qui est assimilé, avec une très bonne
approximation, au centre de masse du Soleil. Les
3 axes du repère sont orthonormés et dirigés vers 3 étoiles ad hoc hors de
notre galaxie, qui ne présentent pas de mouvement apparent par rapport à notre
galaxie, étoiles que l’on dit « fixes » par abus de langage.
Ce référentiel est celui qui se rapproche le plus de la définition du
référentiel galiléen, du moins pour tous les problèmes classiques concernant
notre galaxie…
Ce référentiel a son origine au centre de masse de la Terre. Ses 3 axes sont
parallèles aux axes du référentiel héliocentrique.
Le référentiel géocentrique est en mouvement de translation elliptique (qu’on
peut en première approche considérer comme une translation circulaire) par
rapport au référentiel héliocentrique (les systèmes d’axes des deux référentiels
sont parallèles par définition). Ce n’est donc pas en toute rigueur un
référentiel galiléen. Il s’en approche toutefois sous certaines conditions que
l’on verra dans un paragraphe suivant.
La Terre est en mouvement de rotation dans ce référentiel.
Ce référentiel est centré sur le centre de masse de la Terre. Ses 3 axes sont
orthonormés et liés à la Terre.
Le référentiel terrestre est donc en rotation par rapport aux référentiels
géocentrique ou héliocentrique. La principale conséquence est que le référentiel
terrestre n’est pas galiléen, bien qu’on puisse l’approximer sous certaines
conditions à un référentiel galiléen.
Autre conséquence de la définition, la Terre est immobile dans le référentiel
terrestre.
Enfin, si l’on fait l’approximation galiléenne pour le référentiel terrestre,
et seulement à cette condition, on peut considérer que n’importe quel
référentiel centré sur un point quelconque de la surface terrestre est galiléen
(voir la définition de la classe des référentiels galiléens plus haut). En
effet, ce référentiel sera immobile par rapport au référentiel terrestre et donc
en MRU, il appartient donc à la classe des référentiels galiléens. Mais
j’insiste sur le fait que c’est une approximation et qu’il est hautement
conseillé de la poser en toutes lettres et de l’expliciter comme indiqué
ci-dessous dans vos devoirs (votre prof. de physique sera favorablement
impressionné !).
En pratique, le référentiel galiléen dont vous entendrez le plus parler est le
référentiel du laboratoire, défini par son système d’axes, formé par le trièdre
des murs du labo, et l’horloge du labo. Il n’est pas vraiment galiléen, mais on
fera avec dans la plupart des cas !
Tout dépend du problème posé ! Voici quelques règles, qui n’empêchent pas la
réflexion :
D’une manière générale, pour choisir votre référentiel, posez-vous les questions
suivantes :
Evitez les bourdes comme :
Pour illustrer tout ça, rien ne vaut un exemple de résolution d’un problème de
mécanique. J’ai choisi un cas très simple, tiré du programme de terminale S,
mais abordable dès la première. Il s’agit de l’étude du mouvement d’un mobile
posé sur une table, fixé à un ressort, qui peut se mouvoir sans frottement,
comme l’indique le schéma ci-dessous.
1 - Définir le référentiel de notre étude
C’est une expérience de labo, je vais donc choisir le référentiel du
laboratoire. Je vais utiliser un repère dont je fixerai l’origine au point O,
histoire de pouvoir projeter tranquillement. Puis-je considérer ce référentiel
comme galiléen ? Oui, car les effets de la rotation terrestre sont
négligeables : expérience de faible durée et de dimension spatiale très modeste…
Donc me voilà doté d’un référentiel galiléen pour travailler.
2 – Analyser la physique du problème
Le mobile, de masse m, est assimilé à un point matériel. Du point de vue de
notre étude, ce mobile est donc réduit à son centre d’inertie G.
Le mobile est fixé à un ressort. Au repos, c'est-à-dire quand le ressort n’est
ni en élongation ni en compression, le point G a pour abscisse x0. On
tire le mobile vers la droite pour amener le point G à l’abscisse x, dans notre
référentiel, et on le maintien en cette position. Ce mouvement, provoqué par une
force musculaire qui n’entre pas dans le problème, entraîne l’élongation du
ressort. C’est la situation initiale du problème.
Un physicien anglais, Robert Hooke, énonça en 1678 la loi qui porte son nom, en
version moderne « l’allongement est proportionnel à la force », autrement dit F
= k*l, si l est l’allongement. K est une constante, dite « constante de
raideur », que l’on détermine expérimentalement. Le signe du membre de droite
dépend s’il s’agit d’une compression ou d’une élongation.
On cherche à savoir quel sera la nature du mouvement du mobile lorsqu’on va le
lâcher, du moins du mouvement de son centre d’inertie. Le mieux est encore de
faire l’expérience et d’observer. On note que le centre d’inertie G oscille
autour du point d’équilibre x0. C’est un constat expérimental.
Le but du problème est de modéliser le phénomène pour trouver une ou plusieurs
équations qui permettront de rendre compte de ce comportement.
3 – Faire le bilan des forces en présence
Essayons de les identifier :
Pas d’autres forces à l’horizon : on va négliger l’attraction de la Lune et du
Soleil…
4 – Appliquer le PFD
Nous appliquons le PFD sous sa forme vectorielle selon la définition : la somme
vectorielle des forces extérieures en présence est égale au produit de la masse
du mobile par son accélération, soit :
P
+ R +
F = m*a
Nous avons établi lors du bilan des forces que
P = -R. D’autre part, la loi de Hooke
nous permet d’écrire que F =
-k*(x(t) – x0)*ei, x(t) – x0
représentant l’élongation du ressort.
Notre équation devient donc, en prenant en compte ces remarques,
F = -k*(x(t) – x0)*ei = m*a, soit en simplifiant donne :
a
= -(k/m)*(x(t) – x0)*ei
A partir de cette équation vectorielle, on peut faire deux remarques qui vont
nous permettre de simplifier tout ça :
D’où, en projetant sur Ox :
d²x(t)/dt²
= -(k/m)*x(t)
Et nous voilà avec une splendide équation différentielle, qui décrit le
mouvement du centre d’inertie du mobile dans le référentiel choisi. Nous avons
modélisé le problème.
5 – Calculer
Trouver la solution de cette équation différentielle n’est pas du niveau de
terminale. Mais on peut travailler en physicien pur ! Un physicien observe et
devine. En observant, nous voyons que le point G suit un mouvement sinusoïdal si
les frottements sont vraiment négligeables (sur un coussin d’air par exemple) et
donc nous chercherons une solution de la forme :
x(t) = A*cos(w0*t
+f)
avec :
A titre d’exercice, vous pouvez vérifier que cette fonction est solution de
l’équation différentielle et calculer les valeurs de
w0
et de
f.
Pour calculer ces valeurs, il vous faut deux hypothèses supplémentaires :
Vous remarquez que la résolution d’une équation différentielle d’ordre 2 (avec
des dérivées secondes) nécessite deux conditions initiales sur les dérivées de
rang inférieur (sur la vitesse et la position initiale). Pourquoi ? Rendez-vous
sur Pour parler Physique en cas de problème.
Maintenant, vous pouvez calculer la période du mouvement, et même pour les
prépas envisager la solution du problème si nous n’avions pas négligé les
frottements…