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 Problèmes types de physique en Terminale S 

Transformations nucléaires	Oscillateur mécanique
Mécanique du point	Dipole RLC
Mouvement dans un champ gravitationnel	Propagation d'une onde

L'objectif de cette page est d'indiquer une méthode générale pour plusieurs problématiques rencontrées en physique de la classe de Terminale S. Nous aborderons plusieurs thèmes : les transformations nucléaires et plus particulièrement la décroissance radioactive, la mécanique du point et le cas particulier du mouvement dans un champ gravitationnel, les oscillateurs mécaniques, le dipole RLC (et sa relation avce l'oscillateur) et enfin la propagation d'une onde.

Il ne s'agit pas d'un recueil de problèmes, mais plutôt d'une tentative pour proposer des méthodes générales de résolution des exercices. Les solutions proposées restent strictement dans le cadre du programme de Terminale S, tel qu'il est enseigné dans les lycées français.

Et pour ne pas oublier que TangenteX est consacré à la physique numérique, j'indiquerai lorsque cela aura un sens ou un intérêt, un programme de simulation sur TI89/V200 ou sur PC en C.

1-c) La constante de désintégration radioactive (ou constante de radioactivité) est la probabilité de désintégration radioactive du noyau par unité de temps. Elle se note l et sa dimension est T^-1. Elle est caractéristique de l'élément considéré.

La période de demi-vie est la durée au bout de laquelle le nombre de désintégrations de noyaux a diminué de moitié. On la note t_1/2 et sa dimension est T. La période de demi-vie est essentiellement une grandeur statistique, qui indique qu'un noyau a une chance sur deux de se désintégrer au bout d'une demi-vie.

La détermination expérimentale de ces caractéristiques peut s'obtenir en comptant périodiquement le nombre de désintégrations pour une durée donnée. Le comptage s'effectue avec un compteur Geiger-Muller. Cette manipulation permettra de constuire une courbe expérimentale du nombre de désintégrations en fonction du temps et d'en tirer la constante de désintégration et la période de dem-vie. Pour que la manipulation soit réalisable pratiquement, il faut travailler avec des isotopes à faible demi-vie (Baryum 137 ou Iode 131, par exemple).

1-d) Il n'existe aucun facteur physique ou chimique connu qui modifie les caractéristiques de la désintégration d'un noyau (constante de désintégration, période de demi-vie).

2-a)  La définition de la constante de désintégration se traduit par l'équation dN = -l.N.dt. Le signe - indique que nous sommes en présence d'une décroissance. On peut aussi écrire cette équation dN/N = -l.dt , ce qui constitue l'équation différentielle recherchée.

2-b) En intégrant chaque membre de l'équation différentielle dN/N = -l.dt  et en posant N₀ le nombre de noyaux à t₀, on obtient  ln(N/N₀) = -l.t, ou encore N = N₀.exp(-l.t). Nous observons que la la loi de décroissance radioactive est une loi de décroissance exponentielle.  Cette équation nous permet de calculer la valeur de la demi-vie. D'après la définition, c'est le temps au bout duquel N =  N₀ /2, soit 1/2 = exp(-l.t_1/2) et donc l.t_1/2 = ln(2) d'où t_1/2 = ln(2)/l.

3) Le code source du programme de simulation est le suivant:

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//* Programme de calcul de l'évolution d'une population d'atomes radioactifs

//* en utilisant la méthode d'Euler et DSLIN pour tracer la courbe.

//* Dominique Lefebvre - TangenteX.com février 2010

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#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <dislin_d.h>

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// Déclaration des variables globales

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double lambda;     // constante de désintégration

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// Définition des subroutines de service

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void InitGraphDislin(void)

{

metafl("XWIN");

disini();

pagera();

pagfll(255);

color("black");

winfnt("arial");

return;

}

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//* Calcul de la valeur de la dérivée en x

//* l'équation différentielle est y' = -lambda*x

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double Derivee(double x)

{

double dx; dx = -lambda*x;

return dx;

}

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//* Programme principal

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int main(int argc, char *argv[])

{

// Declaration des variables

int i, NbPas;

double dt, N0, temps;

double *x, *y;

// Initialisation de la page graphique

InitGraphDislin();

// Saisie des paramètres

printf("Desintegration radioactive\n\n");

printf("Constante de desintegration (lambda): ");scanf("%lf",&lambda);

printf("Nombre de noyaux a t0 (N0): "); scanf("%lf",&N0);

printf("Duree de l'experience (en unité de temps): "); scanf("%lf",&temps);

printf("Pas de temps (en unite de temps): "); scanf("%lf",&dt);

// Calcul du nombre de pas de calcul arrondi à l'entier supérieur

NbPas = (int)(ceil(temps/dt));

/// Allocation de la mémoire pour les tableaux de calcul

x = (double *)malloc((unsigned)(NbPas+1)*sizeof(double));

y = (double *)malloc((unsigned)(NbPas+1)*sizeof(double));

//// Determination des conditions initiales

x[0] = 0.0; // t0 = 0

y[0] = N0; // N0 :nombre d'atomes à t0

//// Calcul par le schéma d'Euler

for (i=0; i<NbPas; i++)

{

y[i+1] = y[i] + Derivee(y[i])*dt;

x[i+1] = x[i] + dt;

}

//// Paramètrage de la fenêtre graphique

wintit("Désintégration radioactive");

name("Temps","X");

name("Desintegration","Y");

titlin("Desintegration radioactive",1);

graf(0.0f,temps,0.0f,temps/10,0.0f,N0,0.0f,N0/10);

title();

// Tracé de la courbe de désintégration

rlstrt(x[0], y[0]);

for(i=0;i<NbPas;i++) rlconn(x[i], y[i]);

//*// Liberation de la memoire et sortie

free(x);

free(y);

disfin();

return EXIT_SUCCESS;

}

En utilisant ce programme, avec les données suivantes:

• l = 1

• N₀ = 1000

• durée de l'expérience : 5 s

• pas de temps : 0.01 s