Scilab - Le pendule simple

La physique du pendule simple

La conception d'un pendule simple est assez ... simple. Mais son étude physique, si l'on veut la simplifier, entraine quelques contraintes assez importantes. Voyons lesquelles:

La masse oscillante du pendule doit être assez lourde et petite. Elle doit être lourde pour que la résistance de l'air soit négligeable par rapport à la gravité qui s'exerce sur la masse. C'est pour cela que l'on utilise généralement une petite bille métallique. Elle doit être petite pour que l'on puisse l'assimiler à un point matériel, sans tenir compte du fait qu'il s'agit en réalité d'un solide volumineux.
Le fil qui relie la masse oscillante au pivot d'oscillation, le point de fixation du pendule, doit être rigide et de masse négligeable. Rigide, parce qu'il ne doit pas se déformer lors des grandes oscillations. Si c'est le cas, l'étude physique se complique sérieusement! De masse négligeable, sinon, nous serions obligé de considérer la masse du fil dans l'étude du système. Et nous le souhaitons pas, s'agissant de pendule simple...
Il doit aussi être inextensible, afin que la distance entre le pivot et le centre d'inertie de la masse oscillante soit constante. La trajectoire de la masse sera donc circulaire complète ou partielle. L'étude d'un pendule doté d'un fil de longueur variable (un ressort) est nettement plus ardue, mais faisable.
Les frottements au niveau du pivot d'oscillation doivent être les plus faibles possibles, afin de limiter l'amortissement par perte d'énergie due aux frottements.
Le plan oscillatoire doit rester constant et se limiter au plan Oz du référentiel.

Bref, il s'agit de construire une machine dont les caractéristiques approchent le plus possible la simplicité physique.
En général, on construit un pendule simple avec une bille métallique de petite taille, que l'on suspend à une potence par l'intermédiaire d'un fil métallique fin et rigide. l'extrémité haute du fil repose sur un pivot pour réduire les frottements.
Plaçons nous dans un laboratoire, sur une table stable, regardons et manipulons cette machine simple:

Au repos, le fil est vertical. La bille est à son altitude minimum par rapport à la table. C'est une position d'équilibre. Pourquoi?
Lorsqu'on écarte un peu, de quelques degrés, la bille de la position verticale et qu'on la lâche sans vitesse initiale, l'ensemble bille+fil oscille autour du pivot. Si l'on observe la période de l'oscillation pendant un temps assez bref pour que l'on puisse négliger l'amortissement, on constate que la durée d'une oscillation est pratiquement constante (on dit qu'elles sont isochrones) , et qu'elle dépend de la longueur du fil et pas de l'amplitude angulaire (si elle reste petite). Pourquoi?
Par contre, si l'on écarte la bille de beaucoup par rapport à la position verticale, par exemple à l'horizontale, puis qu'on la lâche toujours sans vitesse initiale, les périodes d'oscillation ne sont plus constantes et dépendent de l'amplitude angulaire. Pourquoi?
Enfin, faisons faire un demi-tour à la bille, qui se trouve donc à son altitude maximum par rapport à la table. Puis lâchons là d'abord sans vitesse initiale, puis avec une vitesse initiale de plus en plus grande (en lui donnant une impulsion). Nous constatons que pour une vitesse initiale minimum donnée, la bille fera un tour ou plusieurs, avant de se remettre à osciller pour enfin s'arrêter sous l'effet de l'amortissement. Pourquoi?

Pour répondre à ces questions et comprendre la physique du pendule simple, nous devons le modéliser le plus finement possible et étudier ce que nous dit ce modèle. C'est ce que je vous propose dans la suite.

La modélisation du pendule simple

Tout d'abord, schématisons notre pendule simple dans un référentiel (M, er, eq), que nous supposerons galiléen.

Pour modéliser le comportement du pendule, nous devons déterminer l'équation de son mouvement dans le référentiel choisi, c'est à dire établir l'évolution de l'angle q dans le temps. Pour ce faire, nous allons appliquer le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique ou seconde loi de Newton). Il y a d'autres méthodes, qui ne sont pas du niveau de TS, et qui aboutissent au même résultat.
La bille M, que nous pouvons considérer comme ponctuelle par hypothèse, parcourt la trajectoire circulaire s. A l'instant t, la distance parcourue sur la trajectoire s est égale à l*q. La trajectoire est orientée comme indiquée sur le schéma.
La projection du vecteur P sur l'axe eq est -mg*sin(q). Le signe - provient de l'orientation de la trajectoire. Il indique que la force subit est une force de rappel, qui ramène la bille à son état d'équilibre le plus stable.

En écrivant le PFD dans le référentiel, j'obtiens md²s/dt² = -mg*sin(q). Sachant que s = l*q, en remplaçant cette valeur dans l'équation précédente et en simplifiant par m, j'obtiens l*d²q/dt² = -g*sin(q), soit au final, en posant w = sqrt(g/l):

d²q/dt² + w² sin(q) = 0

Bon, voilà notre modèle! Une équation différentielle du second ordre, non linéaire...

Cette équation différentielle non linéaire n'a pas de solution analytique immédiate, sauf à faire appel aux fonctions elliptiques de Jacobi. Alors d'habitude, on approxime en remarquant que si l'angle q est petit, l'angle (en radian) a une valeur à peu près équivalente à son sinus. C'est l'approximation des "petits angles" que l'on fait en cours de méca de TS et même de math sup. D'ailleurs, cela m'inspire l'idée d'un travail personnel intéressant. Vous savez ou pas que cette approximation est justifiée par le développement limité de la fonction sinus qui est sin (x) = x - x^3/3! + x^5/5! + ... . Cette formule permet d'estimer l'erreur que l'on fait en fonction de la valeur de x, exprimé en radian bien sur, en posant sin(x) = x.

Mais cette approximation n'est pas très réaliste si l'on veut faire l'étude du comportement du pendule. Alors nous allons procéder à une résolution numérique de l'équation.

Le programme Scilab de simulation

Le langage Scilab possède un outil puissant de résolution des équations différentielles ordinaires (EDO) qui s'appelle ode(). Nous allons l'utiliser sans entrer dans les détails de son fonctionnement, qui relèvent de l'analyse numérique et ne sont donc pas dans le scope de cette page.
Précisons que ode() ne traite que des équations du premier ordre. Or il ne vous a pas échappé que notre équation est du deuxième ordre. On va donc procéder en rusant... Si vous ne comprenez pas bien ce qui suit, ce n'est pas grave. Le but est de faire de la physique pas de l'analyse numérique!
Partons donc de notre équation, que je vais réécrire d²q/dt² = -w²sin(q). Je vais faire le changement de variables suivant : u1 = q et u2 = dq/dt. Je noterai du1 = u2 et du2 = d²q/dt² = -w²*sin(q) et donc finalement vous retrouverez dans le programme ces notations. Pour couper court à toute remarque sur la rigueur de la notation, je précise qu'il ne s'agit pas de notation différentielle...

Voici le premier programme PenduleScilab1, qui trace la courbe d'évolution de l'angle en fonction du temps. Les conditions initiales sur q et dq/dt sont exprimées dans le vecteur u0. Elles sont définies par l'utilisateur au lancement du programme. Ce programme trace aussi le portrait de phase, c'est à dire la courbe de variation de la vitesse angulaire en fonction de l'angle.
Vous noterez que j'ai fixé arbitrairement la valeur de l à 1 m. Vous pouvez la modifier dans le code, pour vérifier son influence sur la période du pendule.
Voici le tracé obtenu avec un angle initial de 0.1 rd et une vitesse angulaire initiale nulle:

PenduleScilab2

Voici le tracé obtenu avec un angle initial de -3 rd et une vitesse angulaire initiale nulle:

PenduleScilab5

Considérations énergétiques

Il est intéressant d'aborder l'étude du pendule simple sous l'angle énergétique. Vous savez sans doute que l'énergie mécanique Em du pendule est égale à la somme de son énergie potentielle Ep et de son énergie cinétique Ec. Comme précisé plus haut, on suppose l'absence de frottement...
Etablissons Ec : elle est égale à (1/2)mv², alors que v = l*dq/dt. On obtient donc Ec = (1/2)m*l²*(dq/dt)².
Passons à Ep: elle est égale à mgh, h étant l'altitude mesurée à partir de l'altitude de repos h0=0. Un petit calcul de trigo montre que h = l*(1 - cos(q)). On obtient donc Ep = m*g*l*(1 - cos(q)).
On peut donc écrire Em = (1/2)m*l²*(dq/dt)² + m*g*l*(1 - cos(q)).
Le programme PenduleScilab3.sce trace sur une même fenêtre les courbes d'énergie potentielle et d'énergie cinétique. Il permet de suivre l'évolution en fonction du temps de ces deux énergies et de vérifier la conservation de l'énergie mécanique totale.
En faisant varier l'angle initial entre 0 et +p ou -p, il permet également d'analyser l'allure de l'énergie potentielle et sa limite, qui est 2mgl comme vous l'aurez calculé! D'ailleurs , que ce passe-t-il si cette limite est dépassée, c'est à dire qi l'on fournit au pendule une énergie initiale supérieure à 2mgl?
Ci dessous, deux exemples: à gauche l'angle initial vaut 0.1 rd et à droite 3.1 rd. Dans les deux cas, la vitesse initiale est nulle. Que constatez-vous?

Quelques expériences

A l'aide des programmes Scilab que vous pouvez télécharger ci-dessus je vous invite aux manips suivantes:

Pour une vitesse initiale nulle, faire varier l'angle initial entre 0 et p.
Fixer une valeur d'angle initial et faire varier la vitesse angulaire initiale.
Etudier ce qui se passe si l'énergie mécanique dépasse une certaine valeur limite à déterminer.
Etudier les positions d'équilibre du pendule.
Faire varier la longueur du pendule et sa masse et en étudier les effets.
Chercher une méthode pour calculer la période du pendule, par programmation, puis la comparer à la valeur théorique pour les petits angles.

et toutes celles que vous pourriez inventer!