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La physique est avant tout une science expérimentale.
Même le théoricien le plus exotique doit se préoccuper de savoir si sa théorie
pourrait être vérifiable par une expérience. Dans le cas contraire, elle rejoint
les rangs de la métaphysique, au mieux...
Tous les physiciens, y compris les débutants du
lycée, sont donc amenés à manipuler des grandeurs numériques, résultats de
mesures de grandeurs physiques. Ils sont aussi amenés à effectuer des
calculs divers sur ces grandeurs et à présenter les résultats de ces calculs.
Et là, les choses se compliquent. Tout le monde
comprend intuitivement qu'un appareil de mesure donne un reflet plus ou moins
exact de la "réalité", que le résultat d'une mesure peut être entaché d'erreurs.
Mais comment estimer ces erreurs et en tenir compte dans l'expression d'un résultat de mesure ou de
calcul. C'est ce que nous allons voir ici.
Cette page n'est qu'une introduction bien incomplète
à ce sujet. Vous trouverez un approfondissement de ce thème dans de multiples
ouvrages, par exemple "Estimer l'incertitude : mesures, essais" de Christophe
Perruchet. Cet auteur a aussi commis un superbe volume sur le sujet pour
l'AFNOR, mais il est hors de prix!
L'opération de mesure est une interaction entre un
objet dont on veut quantifier une caractéristique, un instrument de mesure qui
permet la comparaison entre la grandeur et une grandeur de référence, et un
opérateur qui réalise la mesure. Les incertitudes proviennent essentiellement de
ces deux derniers acteurs: l'instrument et l'opérateur. Je n'aborde pas ici
les incertitudes inhérentes à l'objet mesuré, qui peuvent résulter de son
caractère quantique.
On répartit les incertitudes en deux classes, selon le type d'erreurs dont elles
découlent.
Ce sont les erreurs provenant de l'appareil de mesure, du processus de mesure ou de l'opérateur, qui sont répétitives et constantes. Par exemple:
Les erreurs systématiques doivent être traquées et éliminées. C'est d'ailleurs 80% du boulot d'un expérimentateur (j'exagère à peine! Sans compter les réunions bien sur!). Dans le traitement statistique des données de mesures, elles introduisent un biais identifiable et de très mauvais effet!
Elles ont des origines diverses:
Les erreurs aléatoires ne peuvent pas être éliminées. On peut les limiter mais pas les éliminer. Il faut donc savoir les évaluer. C'est l'objectif du calcul d'incertitude.
Donnons d'abord deux définitions:
Il existe plusieurs méthodes statistiques permettant d'évaluer l'incertitude absolue résultant d'erreurs aléatoires dans une série de mesures. J'y reviendrais dans une autre page. En règle générale, au lycée, on peut se contenter d'un principe simple:
Donc, notre résultat s'exprime sous la forme Vmoy +- DV
Si vous utilisez un instrument de mesure correctement calibré, vous pouvez décider que l'incertitude absolue de vos mesures est égale à la précision indiquée sur votre instrument.
Imaginons que je doive estimer l'incertitude absolue sur une grandeur calculée z qui est la somme de deux grandeurs mesurées x et y. Les incertitudes absolues sur x et y sont respectivement Dx et Dy. On démontre (essayez avec la définition de l'incertitude absolue, c'est très facile!) que:
Dz = Dx + Dy
Evidemment, c'est le même principe pour une différence de deux grandeurs.
Imaginons maintenant que je doive estimer l'incertitude absolue sur une grandeur calculée z qui est le produit de deux grandeurs mesurées x et y. On démontre (essayez avec la définition de l'incertitude absolue, c'est très facile! Attention, on néglige les termes de second ordre DxDy) que:
Dz = Dx*y + Dy*x
ce qui nous donne l'expression de l'incertitude relative, plus maniable:
Dz/z = Dx/x + Dy/y
Evidemment, c'est le même principe pour un quotient de deux grandeurs.
Pour conclure, un résultat de mesure ou de calcul dérivant d'une mesure, doit comporter les indications suivantes:
Par exemple :
La longueur l du motif est l = 0,23*10-6 +- 0.01*10-6 m . Cette notation signifie que la longueur l "vraie" est probablement comprise - généralement avec 95% ou 99% de chance - entre 0,22 et 0,24 * 10-6 m.
Considérons un très simple problème: je mesure le
diamètre d'un disque avec une règle en plastique graduée en millimètres. Je lis
la valeur de 33,1 cm (un vieux vinyl!) . On me demande de calculer sa
circonférence, en me donnant pi = 3.14159265. Je sais que la circonférence C
d'un disque est donnée par le produit pi*d, et donc je réponds sûr de moi que C
= 103,98672 cm (c'est ce que me dit ma calculatrice Texas V200 de course...).
Que pensez-vous de ce résultat? Déjà, je n'ai pas
oublié l'unité (mais pas en SI!), ma formule est correcte aussi... Mais
qu'est-ce qui cloche?
Cela ne vous gêne-t-il pas de mesurer un diamètre au
millimètre près et d'annoncer une circonférence à 10-5
cm près!! Par quel miracle avez-vous créé cette précision?
Ce n'est pas un miracle, c'est une erreur.... Vous
avez pris trop de liberté avec la manipulation des chiffres significatifs.
Voyons ce qu'il faut absolument savoir à propos des chiffres significatifs.
Dans l'expression numérique du résultat d'une mesure
physique, le nombre de chiffres significatifs donne le degré de précision de la
mesure. Le chiffre signification le plus à droite (en écriture latine) est le
chiffre sur lequel porte l'incertitude. Déterminer le nombre de chiffres
significatifs d'un résultat relève de certaines règles que je vais donner
ci-dessous. Attribuer des chiffres significatifs à un résultat de mesure est
l'aboutissement d'un calcul d'incertitude basé sur les méthodes et outils de
mesure. Ce n'est pas tout à fait la même chose!
Voyons les règles de détermination du nombre de chiffres significatifs:
Dans l'énoncé de mon problème, le diamètre est donné avec 3 chiffres significatifs et la constante PI avec 9 chiffres significatifs!
Pour éviter de se tromper, une règle simple:
écrivez vos résultats en notation scientifique, le
nombre de chiffres significatif dans cette notation est celui de la mantisse!
Par exemple, le diamètre de mon disque s'écrit en
notation scientifique 3.31*10-1 m.
La mantisse est 3.31 avec 3 chiffres significatifs. La circonférence doit être
exprimée avec 3 chiffres significatifs et dans la bonne unité SI, soit 1,04*100 m.
Si vous écrivez 1,04 m, votre prof ne vous en voudra pas trop, mais ce n'est pas correct en notation scientifique.
Le règle générale veut que ce soit l'opérande avec le
moins de chiffres significatifs qui impose sa loi. Cela semble naturel: c'est le
plus imprécis, et la précision du résultat dépend de la précision la moins
grande.
Voyons ce que donne l'application de cette règle aux différentes opérations...
Dans le cas d'une addition ou d'une
soustraction, le résultat ne doit pas comporter plus de décimales que
l'opérande qui en compte le moins.
Notez qu'il ne s'agit pas de chiffres significatifs
mais de décimales! Par exemple, j'ajoute deux longueurs connues avec une
précision différente 100,1 m et 0,52 m. Le résultat 100,1 + 0,52
doit s'écrire 100,5 m ou encore en notation scientifique 1,005*102 m. Vous remarquerez sans doute que le résultat
a 4 chiffres significatifs, alors que le 2eme opérande (0,52) n'en a que 2. Mais
la précision de la mesure du première opérande (100,1) est moins grande que
celle du second (0,52) et donc le résultat n'aura qu'un chiffre significatif
après la virgule et conservera toutefois ses 4 chiffres significatifs.
Attention aux arrondis également....
Dans le cas d'une multiplication ou d'une division, le résultat ne doit pas compter plus de chiffres significatifs que l'opérande qui en compte le moins.
On parle là de chiffres significatifs! Imaginons que je doive calculer le diamètre d'un disque dont on me dit que sa circonférence C est de 3 m . On me donne PI = 3,14. Je sais que d = C/PI, soit 3/3,14. C est donnée avec un seul chiffre significatif. Je dois donc exprimer d avec un seul chiffre signification soit 1 m. Pas la peine de prendre sa calculette pour faire un calcul précis, cela ne servirait à rien. Un calcul ne produit pas de précision!
Imaginons un cas un peu plus compliqué. On vous demande de calculer la force d'interaction électrostatique entre un noyau d'hydrogène et un électron. Les données du problème sont:
Sans faire le calcul, pouvez-vous me dire combien de chiffres significatifs doit comporter le résultat? Un seul!
Regardez le nombre de chiffres significatifs avec lequel est exprimée la distance... A ce compte là, on peut faire le calcul
de tête!
La prochaine fois que vous sortez votre calculette, évitez donc de reporter sur votre copie la kyrielle de chiffres qu'elle vous
affiche avant d'avoir vérifié le paragraphe "données numériques" de votre énoncé! Cela fera plaisir à votre prof (et à moi aussi)..
Pour résumer, retenez cette maxime:
Un calcul ne peut pas rendre une mesure plus précise - Ne créez pas de la précision par une erreur de chiffres significatifs!
Le problème des chiffres significatifs en physique
numérique informatique est assez particulier. Comme vous le savez, un ordinateur
ne connait pas les réels. Il manipule des nombres entiers et des nombres à
virgule flottante, dont la structure est celle d'un nombre exprimé en notation
scientifique (mantisse et exposant, la base étant 2).
Dans nos calculs, nous n'avons donc pas vraiment le
choix! Il faut choisir entre entiers ou flottants, et dans ces deux catégories,
choisir un format. Je ne cite pas les complexes et autres, car ils se ramènent
toujours aux entiers ou flottants. Il faut également savoir que le format d'un
nombre dépend de son processeur et du compilateur utilisé. Il existe des
processeurs qui calculent nativement en 32 ou 64 bits. Il existe aussi des
compilateurs qui acceptent des déclarations d'entiers ou de flottants sur 64
bits bien qu'ils travaillent sur des processeurs de 32 bits. Bref, ce n'est pas
très simple...
Le tableau ci-dessous décrit les types de variables
que j'utilise essentiellement dans mes programmes C (processeur 32 bits). On
retrouve les mêmes types de variables en FORTRAN, Pascal et dans Scilab ou Maple.
| Type C | Nom | Taille (en octets) | Domaine de variation |
| int | Entier | 4 | -2 147 483 648 à 2 147 483 647 |
| long int | Entier long | 4 | -2 147 483 648 à 2 147 483 647 |
| float | Flottant | 4 | 3.4*10-38 à 3.4*1038 |
| double | Flottant double | 8 | 1.7*10-308 à 1.7*10308 |
| long double | Flottant double long | 10 | 3.4*10-4932 à 3.4*104932 |
Vous noterez que sur un processeur 32 bits, les types
int et long int sont identiques (long int est une scorie des processeurs 16
bits). Attention, ces données peuvent varier selon les processeurs et les
compilateurs (en particulier pour les long double, qui peuvent être codés sur
128 bits ou lieu de 80).
Pour le calcul ou la simulation, personnellement je
pars du principe que, possèdant suffisamment de mémoire et d'une CPU assez
puissante, j'utilise toujours des double. Evidemment, si j'étais amené à faire
du calcul lourd, j'y réfléchirais à deux fois...
Les formats disponibles en C (en FORTRAN, Scilab et Maple de la même manière!)
permettent de respecter les règles énoncées ci dessus. Voir à ce sujet ma page
d'initiation au C.