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Le modèle de la corde de violon

Introduction

Le frottement de l'archet sur une corde de violon (ou de violoncelle, ne soyons pas sectaires!) est sans doute l'un des sujets les plus classiques dans l'introduction aux lois du frottement sec. Il fait l'objet de questions multiples sur les différents forum de physique et aussi, régulièrement, de problèmes de concours. Il n'est donc pas inutile de se pencher sur le sujet. D'autant que sa modélisation est intéressante et peut servir de base à d'autres modèles plus complexes.
Nous allons aborder le modèle classique de la corde de violon frottée par un archet, en partant de la physique du phénomène pour aboutir à la réponse à la question souvent posée: comment le violon produit-il ce son si particulier!
Attention, le modèle proposé ne tient pas compte des vibrations propres de la corde. Et il ne tient pas compte non plus des résonnances apportées par la caisse du violon. Il est donc très très simplifié et ne prétend absolument pas modéliser la physique d'un violon, qui est autrement plus compliquée...
Le modèle que j'utilise n'est pas le seul possible, mais il est le plus classique et, à mon sens, le plus efficace. Si un lecteur veut bien me proposer un modèle plus efficace, je suis preneur!

La modélisation physique du phénomène

Dans la réalité physique, le violoniste frotte l'archet sur une corde en exerçant une certaine pression sur l'archet. Le son varie en fonction de la pression: le violoniste attaque plus ou moins vivement la corde. On remarque très vite, en écoutant un violon, que le son est beaucoup plus "riche" que ne le serait celui d'un diapason par exemple. Un curieux qui mesurerait la fréquence du son produit trouverait, avec ou sans surprise selon sa formation physicienne, non pas une seule fréquence, mais plusieurs fréquences d'amplitude variable. Faites donc l'essai avec un bon micro et un analyseur de spectres...
Les lecteurs musiciens, ou les spectateurs de "Concert" - un excellent film - auront aussi noté que la "richesse" du son varie aussi en fonction de la vivacité du mouvement du violoniste, c'est à dire de la vitesse de l'archet sur la corde. Ils auront aussi peut-être noté que le violoniste enduisait son archet d'une résine un peu collante : la colophane.
Voilà pour les constatations rapides. Maintenant, la question du physicien numéricien : peut-on élaborer un modèle physique de ce système (corde + archet) qui permette de rendre compte de ces divers éléments et qui propose une explication aux résultats de l'expérience (dans les limites exposées ci-dessus, i.e. sans tenir compte des vibrations de la corde)?
Il s'agit manifestement d'un problème de frottement sec. Le modèle fétiche, parce que très fécond, des physiciens pour l'étude du frottement sec, c'est le déplacement d'une masse rugueuse sur une surface rugueuse, cette masse étant soumise à une force de rappel fournie par un ressort.
Le problème, c'est qu'ici, nous sommes en présence d'une excitation extérieure, la main du violoniste, qui imprime à l'archet une certaine vitesse. Pour simplifier, je vais considérer cette vitesse constante. C'est une approximation, mais on peut toujours décomposer le jeu d'un violoniste en une séquence de jeux à vitesse constante.
Pour modéliser ce système, on l'approxime en schématisant l'archet par un tapis roulant en translation à vitesse constante dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen comme disent tous les jeunes taupins bien sages...). La corde est schématisée par une masse M accrochée à un ressort de rappel, déposée sur le tapis au point x0 à t0 de l'expérience. Ce qui donne le schéma suivant:

D'aucuns, qui suivent, me diront "mais que vient faire g dans cette galère"? Il ne s'agit pas du poids de la corde! Nous sommes en présence d'un modèle, pas de la réalité! En fait, g représenterait plutôt la force d'appui que le violoniste exerce sur l'archet. Dans notre modèle, il s'agit bien sur de l'accélération de la pesanteur qui s'exerce sur la masse M. Mais lorsqu'il s'agira d'interpréter les résultats du modèle, il faudra se souvenir de la signification de g.
Bon, voilà notre modèle! Dans les problèmes de concours, on vous le sert tout prêt généralement... Sauf à l'ENS (problème de physique MP Ulm 2001) où il faut se débrouiller, comme d'habitude!

L'étude du mouvement de la masse M

Au temps t0, la masse M est en x0, le tapis est immobile dans le référentiel de l'expérience. On étudiera le mouvement dans le référentiel Oxz, orienté comme sur le schéma ci-dessus, l'axe Oz étant orienté vertical ascendant.
La constante de raideur du ressort est notée k (quelle originalité...). Le coefficient de frottement statique entre la masse M et le tapis est noté f0 et le coefficient de frottement cinétique est noté f.
On démarre le moteur d'entrainement du tapis. Le tapis entre en translation à vitesse constante v.
Que constate-t-on? Au début de l'expérience, la masse M se déplace solidairement du tapis vers la droite. Puis, soudainement, elle glisse vers la gauche, sous l'effet de la force de rappel du ressort. Et à nouveau, elle est entrainée par le tapis et le cycle recommence.
Comment étudier ce mouvement? Expérimentalement, on constate qu'il se décompose en trois phases :

Voyons de plus près chacune de ces trois phases.

La phase 1

Appliquons le PFD sur notre système, on obtient : m*dv/dt = T + N + P + F, avec:

Nous avons remarqué que la masse M était immobile par rapport au tapis: dans cette phase 1, le mouvement est sans glissement. L'accélération de la masse est nulle.
On obtient donc les équations suivantes, en projetant :

La loi de frottement de Coulomb me permet de dire que dans cette phase de mouvement sans glissement, T <= f0*N, soit en remplaçant par les valeurs obtenues ci-dessus, kvt <= f0*mg.
Cette phase de mouvement sans glissement dure tant que l'inéquation ci-dessus est satisfaite, c'est à dire tant que t <= f0mg/kv.
Ce qui nous permet de fixer t1:

t1 = f0mg/kv             (1)

Remarquons que tous les paramètres physiques du modèle entrent en jeu dans la détermination de la durée de la phase 1: la force d'appui du violoniste (simulée par mg) et la vitesse de l'archet sur la corde.

A l'instant t1, la position de la masse M est donnée par:

x(t1) = vt1 + x0

Résumé de la phase 1: entre t0 et t1, la masse M est en mouvement uniforme sans glissement dans le référentiel et immobile par rapport au tapis. L'instant t1 correspond au moment où la force de frottement statique n'est plus suffisante pour compenser l'entrainement du tapis.

La phase 2

On procéde de la même manière pour étudier le mouvement de la masse M. En appliquant le PFD et en projetant sur les axes Ox et Oz, j'obtiens cette fois:

De nouveau, j'utilise la loi de Coulomb, pour les mouvements de glissement avec frottement cinétique. Elle me dit que T = f*N, f étant le coefficient de frottement cinétique, d'où T = fmg.
Mon équation différentielle sur Ox devient donc m*d2x/dt2 = fmg - k(x - x0) ou encore:

d2x/dt2 +(k/m)*(x - x0) = fg         (2)

Attention, cette équation n'est bien sur vérifiée que pour t > t1 !
La résolution de cette EDO ne devrait pas poser de problème particulier, pas plus que sa résolution numérique. On cherche d'abord la solution générale de l'équation sans second membre puis la solution particulière. On obtient:

x(t) = A*cos(w0(t - t1) + f)+ gf/w02 + x0        (3)

On ne présente plus w0 = sqrt(k/m)... A et f sont des constantes d'intégration que l'on va calculer à l'aide des conditions initiales (cette phase commence en t = t1, je vous rappelle!):

Je vous laisse faire les calculs, on obtient finalement :

-Aw0sin(f) = v            (4)

d'où:

Pour compléter l'étude de cette phase, il faut calculer la valeur de t2.
Pour calculer t2, il faut remarquer qu'à cet instant t2, la vitesse de la masse par rapport au référentiel est la vitesse v constante, celle du tapis roulant. Si je dérive (3) par rapport au temps, pour obtenir l'expression de la vitesse, je peux donc écrire:

dx(t2)/dt = -Aw0sin(w0(t2 - t1) + f) = v

soit

sin(w0(t2 - t1) + f) = - v/Aw0.

D'après (4), on obtient :

sin(w0(t2 - t1) + f) = sinf.

Cette équation trigo possède deux solutions:

w0(t2 - t1) + f = f

ou

w0(t2 - t1) + f = p - f

La première solution entraine t2 = t1, ce qui est physiquement impossible. On retiendra donc la seconde solution. Et donc, j'obtiens la valeur suivante pour t2:

t2 = t1 + (p - 2f)/ w0             (5)

A l'instant t2, la position de la masse x(t2) est donnée d'après (3) par:

x(t2) = -Acosf + mgf/k + x0

Résumé de la phase 2 : entre t1 et t2, la masse M est en mouvement sinusoïdal dans le référentiel. L'instant t2 correspond au moment où la masse M redevient immobile par rapport au tapis, et donc entrainée la vitesse v par le tapis dans le référentiel de l'expérience.

La phase 3

Au début de cette phase, à l'instant t2, la masse M est de nouveau immobile par rapport au tapis. On observe que, comme pendant la phase 1, elle est en mouvement uniforme sans glissement par rapport au référentiel de l'expérience. Comme pour la phase 1, ce mouvement durera tant que la composante tangentielle de la réaction T <= f0*N. Et donc, j'ai l'équation:

x(t3) = v(t3 - t2) + x(t2) = vt1 + x0

avec t3, l'instant où la masse M recommence à glisser sur le tapis. D'après les différents résultats obtenus ci-dessus:

v(t3 - t2) = Acosf + (g/w0²)(f0 - f) = (2g/w02)(f0 - f)

ce qui me donne finalement l'expression de t3:

t3 = 2Acosf/v + t2           (6)

Résumé de la phase 3: entre t2 et t3, la masse M est en mouvement uniforme sans glissement dans le référentiel et immobile par rapport au tapis. L'instant t3 correspond au moment où la force de frottement statique n'est plus suffisante pour compenser l'entrainement du tapis.

Interprétation physique

On observe, et le calcul montre, que le mouvement de la masse M est périodique, mais pas sinusoïdal. Ce constat est important car vous savez qu'un mouvement périodique peut être décomposé en une somme de fonctions sinusoïdales de fréquence différentes par une analyse de Fourier.
Il est assez facile de calculer la période P de ce mouvement qui est égale à t3 - t1, soit

P = 2Acosf/v - (p - 2f)/w0       (7)

d'après (5) et (6). On se souvient, voir (4'), que f dépend des coefficients de frottement et de la vitesse v.
Ces différentes données permettent de répondre aux questions du début:

Simulation du mouvement

Voici un code en C++ qui permet de retrouver la courbe x(t) étudiée ci-dessus. Il utilise la libraire graphique DISLIN. Vous pourrez ainsi vous livrer à quelques petites expériences!